Конечно, вы можете проживать в квартире, пока её не продадите. Съезжать на съемное жилье это лично ваше дело, но, на мой взгляд, в этом нет необходимости. Можно жить в квартире и одновременно продавать.
Ребенка и всех зарегистрированных, при необходимости, можно будет выписать перед сделкой по заявлению. Прописать можете сразу в дом, как оформите собственность.

Съезжать с квартиры не нужно. Срок продажи может быть длительным. Зачем Вам переплачивать за съемную квартиру? Нужно будет просто сделать красивые фото Вашей квартиры. Уберите все лишние вещи - тряпки и полотенца на кухне, химию в санузле, игрушки и другие предметы в комнате; включите свет, расположите телефон так, чтобы стены не заваливались.

Можете ускорить продажу, если поставите цену ниже рынка и потом сможете сделать досрочное погашение ипотеки. Кстати, про ипотеку. Узнайте, есть ли в Вашем регионе сельская ипотека (3%). И, если есть, подходит ли выбранный дом под эти условия. Если нет сельской ипотеки, можно спросить в банке ипотеку по господдержке (8%) или семейную (6%). Их одобряют на строительство дома через определенных подрядчиков или покупку нового дома с участком от юр лица (таким может быть, например, застройщик коттеджного поселка).

"Можно ли проживать в квартире на срок продажи или лучше освободить ее и съехать в съемную?" - ну в идеале, конечно, лучше продавать физически освобожденную квартиру. чтобы потом не бегать по потолку за неделю между авансом и сделкой, или за время между сделкой и регистрацией. если у вас дома еще нет и между продажей квартиры и покупкой дома вам в любом случае придется жить на съемной квартире, то лучше съехать на нее заранее. это с точки зрения некоторой оптимизации продажи. но если такой возможности нет, то никаких запретов на проживание на время продажи нет. просто не всех покупателей привлекает квартира, в которой кипит жизнь - развешано белье, варится борщ, бегает кот , ребенок рисует на обоях и тд;
"И еще в квартире прописан несовершеннолетний ребенок, его нужно куда-то прописать, пока не купим дом?" - в соответствии с законодательством, ребенок до 14 лет должен быть прописан с кем-то из родителей. от 14 до 18 может быть прописан по другим адресам, но тоже с согласия родителей. если ребенок не является собственником продаваемой квартиры, то никаких проблем ни вам, ни покупателю это не доставит - перепропишетесь сами, и вместе с собой перепропишете ребенка